悩みは深い

圏論。

それなりに勉強してきて、とりあえず皆様とお話（議論）するには困らないようになってきたとは思っているのですが、、、、

どうしても、腑に落ちない点が2つあります。

１）圏 が成立していないのに、その塊にたいして関手を定義してよいのか。

これは、物理学以外に応用、特に社会学系に圏論応用する場合に遭遇する問題です。とりあえず「圏は成立しているもの」として読めば理解はできるのですが、根本の圏が成立していないのであれば、単なる「似た関係」のオーパーな評価のような感じがします。圏同値である、なんて結論を見ると、本当かなあ、、、と思うと同時に、無風凧の理解が足りないのかな、と不安になります。

２）射（Arrow）に時間の概念は入るのか。

これが最近の悩みの種でノイローゼになりそうな問題。時間の前後が射に含まれている卯とすれば、射自体に「時間的な前後」があるわけです。そのまま敷衍すれば、因果関係を表す射、が存在することいなります。ところが、圏のＯｐｐｓｉｔを考える、つまり射の向きが逆転した場合、因果関係が逆になります。

簡単に言えば、因果が逆転した場合の射って、どういうことを示すことになりのでしょう？西條先生が記事にしていますが、その部分への言及が無いので、無風凧は悩んでしまいます。

悩むというより、圏の定義（公理系）の問題ではないか。射自身には時間のが無い、とした公理系を考えるなら、この「悩み」は存在しなくなります。相対論の場合（相対論自身は、ミンコフスキー空間上の理論です）、時間軸は、ct として距離に置き換えるという工夫をしています。つまり、時間は存在しないように置き換えた位相空間での理論です。

同様に、圏 における時間の扱いも、何らかのf工夫をする必要があるのではないか。どのように工夫するかは無風凧はまだ考え切れていません。しかし、因果推論 の例を出すまでも無く、時間の前後関係はもっと良く考えなくてはならない課題だと思うのです。

西郷さんの京大論叢を読んでいて、あらためて２）の課題の大きさに気づかされました。悩みは深い。